제한 치트 시트
\mathrm{만약\:가\:한계\:의\:f(x),\:및\:g(x)\: 존재,\: 하면\:이\:다음\:적용된다:}
\lim_{x\to a}(x}=a
\lim_{x\to{a}}[c\cdot{f(x)}]=c\cdot\lim_{x\to{a}}{f(x)}
\lim_{x\to{a}}[(f(x))^c]=(\lim_{x\to{a}}{f(x)})^c
\lim_{x\to{a}}[f(x)\pm{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\pm\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[f(x)\cdot{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\cdot\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{\lim_{x\to{a}}{f(x)}}{\lim_{x\to{a}}{g(x)}}, \quad "where" \: \lim_{x\to{a}}g(x)\neq0
\mathrm{위해서}\:\lim_{x\to c}f(x)=\infty, \lim_{x\to c}g(x)=L,\:\mathrm{같은\:다음과\:경우:}
\lim_{x\to c}[f(x)\pm g(x)]=\infty
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=\infty, \quad L>0
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=-\infty, \quad L<0
\lim_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=0
\lim_{x\to \infty}(ax^n)=\infty, \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=\infty,\quad \mathrm{n\:는\:이상한} , \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=-\infty,\quad \mathrm{n\:는\:이상한} , \quad a>0
\lim_{x\to \infty}\left(\frac{c}{x^a}\right)=0
0^{0}
\infty^{0}
\frac{\infty}{\infty}
\frac{0}{0}
0\cdot\infty
\infty-\infty
1^{\infty}
\lim _{x\to \infty}((1+\frac{k}{x})^x)=e^k
\lim _{x\to \infty}((\frac{x}{x+k})^x)=e^{-k}
\lim _{x\to 0}((1+x)^{\frac{1}{x}})=e
상수의 한계
\lim_{x\to{a}}{c}=c
기본 한도
\lim_{x\to{a}}{x}=a
압착 정리
\mathrm{\:f,\:g,\:h가\:모두를\:위한\:함수라고\:하자}\:x\in[a,b]\:\mathrm{(가능한\:한계\:지점\:c\:제외),}
f(x)\le{h(x)}\le{g(x)}
\mathrm{또한\:다음과\:같이\:가정한다,\:}\lim_{x\to{c}}{f(x)}=\lim_{x\to{c}}{g(x)}=L
\mathrm{그럼\:아무나\:}a\le{c}\le{b},\:\lim_{x\to{c}}{h(x)}=L
로피탈의 법칙
\mathrm{위해서}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right),
\mathrm{이면}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{0}{0}\:\mathrm{또는}\:\lim_{x\to\:a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\pm\infty}{\pm\infty},\:\mathrm{그리고나서}
{\lim_{x\to{a}}(\frac{f(x)}{g(x)})=\lim_{x\to{a}}(\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)})}
발산 기준
\mathrm{두 시퀀스가 존재하는 경우,\:}
\left{x_n\right}_{n=1}^{\infty}\mathrm{ 그리고 }\left{y_n\right}_{n=1}^{\infty}\mathrm{ 과 }
x_n\ne{c}\mathrm{그리고 }y_n\ne{c}
\lim_{n\to\infty}{x_n}=\lim_{n\to\infty}{y_n}=c
\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}\ne\lim_{n\to\infty}{f(y_n)}
\mathrm{그리고나서\:}\lim_{x\to\:c}f(x)\mathrm{ 존재하지 않음}
제한 체인 규칙
\mathrm{만약}\:\lim_{u\:\to\:b}\:f(u)=L,\:\mathrm{그리고}\:\lim_{x\:\to\:a}g(x)=b,\:\mathrm{그리고}\:f(x)\:\mathrm{에서\:연속적이다}\:x=b
\mathrm{그리고나서:}\:\lim_{x\:\to\:a}\:f(g(x))=L
대수학
